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Angewandte Geophysik : Seismik
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Seismometer Dokumentation
- Inhaltsvezeichnis -
- Funktionsprinzip -
Ein Seismometer ermöglicht die Beobachtung / Registrierung von
Bodenbewegungen,
und besteht i.A. aus
-
- einem Inertialsystem,
- d.h. einer beweglichen Masse, die durch eine Feder und ein
Dämpfungselement mit einem starren Gehäuse verbunden ist,
- und
-
- einem Signalabgriff,
- das die Relativbewegung des Gehäuses gegenüber der Masse
( = "Fixpunkt" aufgrund ihrer Trägheit )
in ein Ausgangssinal wandelt.
Mechanisches System :
Das Verhalten des mechanischen Systems kann qualitativ
abgeschätzt werden mit der Annahme einer harmonischen Bodenbewgung
( = Gehäusebewegung ) :
- für "sehr hochfrequente" Bodenbewegungen ( im Vergleich
zur sog. Eigenfrequenz des Feder-Masse-Systems ) wird die Masse aufgrund
ihrer Trägheit in ihrer absoluten Position verharren, und
die Relativbewegung zwischen Gehäuse und Masse wird der Bodenbewgung
entsprechen,
- für "sehr niederfrequente" Bodenbewegungen wird die Masse
der Gehäusebewegung folgen, und
die Relativbewegung wird gegen 0 streben.
Eine quantitative Beschreibung dieser
"Hochpass-Charakeristik", insbesondere im Frequenzbereich zwischen
"sehr hoch" und "sehr tief"
kann aus dem Gleichgewicht aller externen und internen
Kräfte, die auf die Masse einwirken abgeleitet werden.
Das Kräftegleichgewicht wird durch eine lineare Differentialgleichung
2. Ordnung,
in der die Größen zur Beschreibung der Bewegung
x(t), x'(t) und x"(t)
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= |
relative Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung der Masse
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und
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w"(t)
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= |
Beschleunigung des Bodens ( = des Gehäuses )
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mit den charakteristischen Parametern des mechanischen Systems
m [kg]
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= |
bewegliche Masse,
=> Trägheitskraft proportional zur Gesamtbeschleunigung
x"(t) + w"(t),
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d [Ns/m]
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= |
Dämpfungkonstante,
=> Dämpfungskraft proportional zur Relativgeschwindigkeit
x'(t),
|
und
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c [N/m]
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= |
Federkonstante,
=> Rückstellkraft proportional zur Auslenkung x(t) der Masse
aus ihrer Ruhelage ( x = 0 )
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verknüpft sind.
- Das negative Vorzeichen der Kräfte in der Bewegungsgleichung soll
verdeutlichen, dass die Kraft der jeweiligen Bewegungskomponente
entgegengerichtet ist.
- Dabei ist die Trägheitskraft zusammengesetzt aus
- einem äußeren Anteil,bestimmt durch die Beschleunigung
w"(t) des Gehäuses bezüglich einer starren Erde und
- einem inneren Anteil, bestimmt durch die Beschleunigung
x"(t) der
Masse bezüglich des Gehäuses,
- während die Dämpfungs- und die Federkraft nur durch
die
- Geschwindigket x'(t) und die Auslenkung x(t) der Masse bezüglich des
Gehäuses bestimmt sind
( innere Kräfte zwischen Masse und
Gehäuse ).
- ! Das hier beschriebene mechanische System entspricht einem
Seismometer mit linear geführter Masse
( 1 Freiheitsgrad ),
- im Abschnitt Bestimmung der Empfinlichkeit speziell
einem Vertkalseismometer ( s. "Gewichtstest" ).
- Alle anderen Formeln und Gleichungen gelten unverändert auch für
Horizontalinstrumente !
- ! Zur Anwendung auf Instrumente, bei denen die
Seimometermasse an einem drehbar gelagerten, starren Pendelarm
befestigt ist ( => ebenfalls nur 1 Freiheitsgrad ), sind die
erforderlichen Modifikationen aufwändiger :
- der Zustand des Systems wird beschrieben durch
- die Drehung des Pendelarms
- ( Winkelauslenkung, -geschwindigkeit und -beschleunigung ),
- und abgeleitet aus
- dem Gleichgewicht aller internen und externen Drehmomente,
wie
- Winkelbeschleunigung × Trägheitsmoment,
- Bodenbeschleunigung × Masse × Schwerpunktsabstand
von der Drehachse, etc. !
Bewegungsgleichung :
Dividiert man die Differetialgleichung durch die ( konstante )
Masse m, so erhält man
mit den gebräuchlichen Abkürzungen
wodurch die Eigenfrequenz und die dimensionslose
Dämpfungskonstante des Systems definiert werden :
Eine Lösung der Gleichung mit Hilfe der
Laplace Transformation liefert
-
- Übertragungsfunktionen, wodurch
- die Relativbewegung der Masse ( Auslenkung x(t) oder
Geschwindigkeit x'(t) )
- mit
- der Bodenbewegung ( Verschiebung w(t), Geschwindigkeit
w'(t) oder Beschleunigung w"(t) ) oder
- einer
Kraft p(t) ( => Beschleunigung
p(t) / m )
- verknüpft ist,
- und
-
- die Freie Bewegung der Masse, abhängig
von Anfangbedingungen
- des mechanischen Systems
- ( Anfangswerte der Auslenkung x(+0) und der
Geschwindigkeit x'(+0) ),
- sowie
- der Bodenbewegung
- ( Anfangswerte der Bodenverschiebung w(+0) und der
Bodengeschwindigkeit w'(+0) ).
Signalabgriffe :
- "Wegabgriff" ( displacement transducer ),
- meist eine kapazitive oder induktive Brückenschaltung,
- ( in den Anfängen der Seismometrie : mechan. Hebelsystem zur
Auslenkung einer Schreibfeder oder Lichtzeiger mit photographischer
Registrierung ),
- liefert ein ( i.A. elektrisches ) Ausgangssignal
proportional zur Auslenkung x(t) der Seismometermasse
relativ zum Gehäuse :
-
- wobei die Rückwirkung des Abgriffsystems auf das mechanische
System i.A. vernachlässigbar gering ist.
- ! Nicht bei mechan. Hebelsystemen, wo die Reibung der
Schreibfeder, um die Hebelübersetzung
( = Vergrößerung ) vervielfacht, auf die Masse
zurückwirkt !
- Geschwindigkeitsabgriff ( velocity transducer ),
- meist eine zylindrische Spule, die in den Ringspalt eines
Permanentmagneten ( "Topfmagnet" ) eintaucht, und in der
- eine Spannung induziert wird, die proportional ist zur
Änderung des magnetischen Flusses, d.h. zur Relativgeschwindigkeit
x'(t) zwischen Spule und Magnet :
-
- Sind die Enden der Spulenwicklung über einen Widerstand
verbunden, so erzeugt der durch die Spule, d.h. im Feld des
Permamnentmagneten, fließende Strom eine Kraft,
- die dem Strom proportional ist
- ( Proportionalitätsfaktor G [N/A] =
Motorkonstante G [Vs/m] ),
- und
- die auf das mechanische System zurückwirkt.
- Kapazitive und induktive Beiträge zum Gesamtwiderstand des
elektrischen Spulenkreises können im für Seismometer relevanten
Frequenzbereich i.A. vernachlässigt werden, sodass Strom und Spannung,
und damit
- Kraft und Geschwindigkeit x'(t), in Phase sind :
-
Die elektromechanische Rückkopplung trägt liefert einen Beitrag
zur Dämpfung des mechanischen Systems, die über den externen
Widerstand justiert werden kann.
Inhaltsverzeichnis
Funktionsprinzip
Mechanisches System
Bewegungsgleichung
Signalabgriffe
- Applets -
- Das Applet
Seismometer Demo demonstriert
- die Ausgangssignale des Verschiebungs- und des Geschwindigkeitswandlers
- ( sowie zusätzlich die Absolutverschiebung
x(t) + w(t) der Seismometermasse )
- für verschiedene Bodenverschiebungen w(t) und für einen weiten
Parameterbereich
- ( z.B. Eigenfrequenz und Dämpfung des Seismometers, Frequenz /
Zeitskala der Bodenbewegung ).
- In einem separaten Fenster können Amplitude und Phase der
Übertragungsfunktion von Verschiebungs- und Geschwindigkeitsausgang
bezogen auf die Verschiebung, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung
der Bodenbewegung dargestellt werden.
- Im Applet
Seismometer Eichung wird
- die Eigenfrequenz bestimmt aus der Beobachtung des Phasenwinkels zwischen
dem harmonischen Strom durch eine Eichspule und der Ausangsspannung der
Signalspule,
- die Dämpfung aus der Beobachtung der freien Bewegung der
Seismometermasse bei verschiedenen Werten des externen
Däpfungswiderstands und ausgelöst durch Ein- / Ausschalten eines
Gleichstroms durch die Eichspule oder durch Auflegen / Abheben einer
kleinen Zusatzmasse dm « m ( "weight lift
test" ),
- wobei die Spitze-Spitze-Amplituden automatisch bestimmt und gespeichert
werden, um die Grunddämpfung und den sog. "kritischen
Dämpfungswiderstand zu berechnen.
- Zusätzlich werden die Motorkostanten von Eich- und Signalspule
berechnet und zusammen mit den entprechenden "wahren" und
zunächst nicht bekannten Werten dargestellt.
- Weitere Applets zur Seismometrie ( Seismometer mit
LaCoste-Aufhängung, Vergleich der Übertragungscharakteristiken
einiger historischer und moderner Seismographen u.a. ) :
- unter
Institut für Geophysik der TU Clausthal
- und
- auf der
Homepage des Authors.
Inhaltsverzeichnis
Applets
- Grundlagen und Anwendung der Laplace Transformation -
Die Transformierte G(s) einer Zeitfunktion g(t) und die
inverse Transformation :
Einige Regeln :
-
Der Differentiation im Zeitbereich entspricht eine Multiplikation
mit s im Frequenzbereich, unter Berücksichtigung der Anfangswerte
der Zeitfunktion :
- Die Anfangswerte g(+0) und g'(+0) entsprechen
- lim g(t) und lim g'(t) für
t → +0,
- d.h. den rechtsseitigen Grenzwerten der Zeitfunktionen.
-
Die Multiplikation im Frequenzbereich entspricht der Faltung im
Zeitbereich :
-
Grenzwerte :
vorausgesetzt, dass die Grenzwerte von g(t) existieren.
( ! Sehr nützlich zur direkten Bestimmung der Grenzwerte aus
G(s) ! )
Anwendung auf die
Bewegungsgleichung eines Seismometers :
- Mit
- X(s) = Transformierte der Auslenkun x(t) der
Seismometermasse
- und
- W(s) = Transformierte der Bodenverschiebung w(t)
- liefert die Anwendung der Laplace Tranformation auf die
Differentialgleichung im Zeitbereich
-
- eine algebraische Gleichung im Frequenzbereich
-
- mit
- h(t), H(s) = Impulsantwort des Systems und ihre
Transformierte
( = Übertragungsfunktion ),
- z(t), Z(s) = Freie Bewegung der
Masse und die entsprechende Transformierte,
- abhängig von den Anfangsbedingungen x(+0), x'(+0) des
Systems und w(+0), w'(+0) der Bodenbewegung,
- und
-
- ( H(s) = Hochpass ),
- wobei die Zeitfunktionen h(t), z(t) aus
Tafeln zur Laplace Transformation
entnommen werden können.
- Wenn sich der Boden für t &le 0 in Ruhe befindet
( w(+0), w'(+0) = 0 ),
ergibt sich :
-
- mit z(+0) = x(+0) ( aus der Grenzwertregel ).
- Die Anwendung der Differientiationsregel auf X(s) liefert
für die Relativgeschwindigkeit der Masse
-
- mit z'(+0) = x'(+0) für
w(+0), w'(+0) = 0
( aus der Grenzwertregel ).
- ! Geschwindigkeit von Seismometermasse und Boden sind durch
die gleichen Funktionen h(t), H(s) verknüpft wie Auslenkung und
Bodenverschiebung !
- Kürzt man die Bodenbeschleunigung w"(t) durch a(t)
( Transformierte = A(s) ) ab, so ergeben sich :
-
- ( L(s) = Tiefpass ),
- als Verknüpfung der Auslenkung der Mass mit der normierten
Bodenbeschleunigung
- und
-
- ( B(s) = Bandpass ),
- als Verknüpfung der Geschwindigkeit der Masse mit der normierten
Bodenbeschleunigung
Inhaltsverzeichnis
Laplace Transformation
Einige Regeln
Anwendungen
- Übertragungsfunktionen -
Für die hier beteiligten Zeitfunktionen ( d.h. seismische Signale
endlicher Amplitude und Dauer, oder Impulsantworten kausaler Systeme wie
Seismometer ), umfasst der Definitionsbereich der
Laplace Transformation auch die imaginäre Achse
der komplexen s-Ebene.
Die Übertragungsfunktionen
H(s), L(s) und B(s)
eines Seismometers werden üblicherweise dargestellt und diskutiert
anhand ihrer Amplituden |H|, |L|, |B| und Phasen arg{H}, arg{L}
und arg{B} auf der imaginären Achse, mit einer auf die
Eigenfrequenz des Seismometers normierten Frequenzskala.
Die Übertragungsfunktion H(s)
verknüpft die Auslenkung x(t) der Seismometermasse mit der
Bodenverschiebung w(t) und die Geschwindigkeit x'(t) der Masse
mit der Geschwindigkeit w'(t) des Bodens,
und entspricht einem normierten Hochpass 2. Ordnung :
Für Signale im Frequenzbereich oberhalb der Eigenfrequenz sind
-
Seismometer mit "Wegagriff" sog. "Wegaufnehmer",
-
mit Geschwidigkeitsabgriff sog. "Geschwindigkeitsaufnehmer".
Die Übertragungsfunktion L(s)
verknüpft die Auslenkung x(t) der Masse mit der Bodenbeschleunigung
w"(t), und entspricht einem normierten Tiefpass
2. Ordnung :
Für Signale im Frequenzbereich unterhalb der Eigenfrequenz sind
Seismometer
-
mit "Wegagriff" sog. "Beschleunigungsaufnehmer"
( z.B. Gravimeter ).
Die Übertragungsfunktion B(s)
verknüpft die Geschwindigkeit x'(t) der Masse mit der
Bodenbeschleunigung w"(t)
( oder mit der Beschleunigung p(t) / m einer an der Masse
angreifenden Kraft p(t) ) oder
die Auslenkung x(t) mit der Bodengeschwindigkeit w'(t),
und entspricht einem normierten Bandpass 2. Ordnung :
Für stark gedämpfte Systeme ist die Amplitudencharakteristik
|B| "flach" in einem Frequenzband um die Eigenfrequenz,
und es gilt näherungsweise :
Für Signale innerhalb dieses Frequenzbandes sind Seismometer
-
mit Geschwindigkeitsausgang sog. "Beschleunigungsaufnehmer",
-
mit "Wegabgriff" sog. "Geschwindigkeitsaufnehmer".
Inhaltsverzeichnis
Übertragungsfunktionen
Hochpass H(s)
Tiefpass L(s)
Bandpass B(s)
- Freie Bewegung der Seismometermasse -
Sehr häufig wird als Funktionstest oder zur Eichung eines Seismometers
die Masse ausgelenkt, festgehalten und zum "Zeitpunkt
t = 0" wieder freigegeben, wobei die resultierende freie
Bewegung der Masse beobachtet / aufgezeichnet wird.
Für die entsprechenden Anfangswerte
ergeben sich die Laplace Transformierten von
Auslenkung und Geschwindigkeit zu :
Die entsprechenden Zeitfunktionen z(t) und z'(t) kann man
Tafeln zur Laplace Transformation entnehmen :
- Für Zeiten t ≤ 0 gilt
- z(t) = x(+0) und z'(t) = 0
- und für Zeiten t > 0
- führt die Masse gedämpfte Schwingungen um ihre Ruhelage
x = 0 aus ( α < 1 ),
- oder
- kehrt ohne Überschwingen in ihre Ruhelage zurück
- ( aperiodischer Grenzfall α = 1,
"Kriechfall" α > 1 ).
Inhaltsverzeichnis
Freie Bewegung
- Parameterbestimmung -
- Die normierten Übertragungsfunktionen eines Seismometers sind
charakterisiert durch
- die Eigenfrequenz ( engl. natural frequency )
- und
- die Dämpfung
- des mechanischen Systems.
- Dabei ermöglichen es die beiden Parameter
- "CDR"
( engl. "critical damping resistance" )
- und
- Grunddämpfung ( engl. open circuit damping )
- die gewünschte Gesamtdämpfung einzustellen ohne eine
langwierige "Trial-und-Error" Prozedur.
- Schließlich ist zur Rekonstruktion der "wahren"
Bodenbewegung die Kenntnis
- der Empfindlichkeit ( engl. sensitivity )
K [V/m] bzw. G [Vs/m]
- des Wandlersystems erforderlich.
Die Eigenfrequenz
eines Seismometers kann über die Übertragungsfunktion
B(s) bestimmt werden :
Für einen harmonischen Strom i(t) durch die Eichspule wirkt
auf die Seismometermasse die ebenfalls harmonische Kraft p(t), und
für die Ausgangsspannung u(t) der Signalspule gilt
Die Größe R(s) = U(s) / I(s) kann
als komplexe, frequenzabhängige Impedanz interpretiert werden,
die zu einer Phasendifferenz arg{B(s)} zwischen Erregerstrom und
Ausgangsspannung führt :
- Als graphische Darstellung von u(t) gegen i(t)
( auf einem Oszillographen oder XY-Schreiber ) erhält man
- für arg{B} ≠ 0 eine Ellipse, die
- für arg{B} = 0
( B = 1 / 2α für q = 1, s.o. )
in eine Gerade übergeht.
- Dies ist ein äußerst empfindlicher Indikator für
q = 1,
- ( d.h. Erregerfrequenz = Eigenfrequenz ),
- wodurch der Fehler in der Bestimmung der Eigenfrequenz eines Seismometers
i.A. reduziert wird auf
- Unsicherheiten in der Justierung / Messung der Signalfrequenz der
Stromquelle.
- ( s. DISPLAY U_SIG / I_CAL des Applets
Seismometer Eichung )
( Bei Systemen mit nur einer Spule kann dieses Verfahren mit geringfügigen
Modifikationen der Messanordnung ebenfalls angewandt werden, wobei der
Messfehler ggf. etwas anwächst, da der Spulenwiderstand einen, i.A.
merklichen, Beitrag zum Realteil der "Seismometerimpedanz" R(s)
liefert. )
Die Dämpfung
eines Seismometers wird üblicherweise aus der
Freien Bewegung der Seismometermasse, für
α < 1 eine gedämpfte Schwingung um die Ruhelage,
berechnet :
Aus dem Ausgangssignal von "Weg-" oder Geschwindigkeitsabgriff
- kann die Dämpfung
- aus der Abnahme der Extremalamplituden,
- die Eigenfrequenz
- aus dem Abstand von Nulldurchgängen
- bestimmt werden,
- wobei beide Beobachtungsgrößen bei einer Phasendifferenz
von ganzzahligen Vielfachen von π ( = 180 [Deg] )
im Argument der trigonometrischen Funktionen auftreten :
( s. DISPLAY U_SIG / TIME des Applets
Seismometer Eichung )
Leider ist diese Auswertung der freien Bewegung beschränkt auf
Dämpfungen α < ca. 0.7, wo ein messbares
Überschwingen der Signalspur auftritt.
Die Bestimmung der Eigenfrequenz sollte möglichst über die oben
beschriebene Beobachtung der Phasendifferenz arg{B(s)}
durchgeführt werden, da die Ergebnisse genauer ( und weitgehend
unabhängig von der Dämpfung ) sind.
Dämpfungswerte α deutlich > 1 können
in einem ähnlichen Versuch aus dem Amplitudengang |B(s)| der
Übertragungsfunktion B(s)
( aus den Eckfrequenzen und der Eigenfrequenz ) ermittelt werden.
"Kritischer Dämpfungswiderstand"
( engl. Critical Damping Resistance CDR )
Die Kraft p(t) zwischen Spule und Magnet ( zw. Masse und
Gehäuse ) ist proportional zum Strom i(t) durch
die Spule mit der Motorkonstante G [N/A]
( = Generatorkonstante G [Vs/m] )
des Spule-Magnet-Systems.
Im seimisch relevanten Frequenzbereich sind kapazitive und induktive
Beiträge zum Gesamtwiderstand im Spulenkreis i.A.
vernachlässigbar,
d.h. es müssen nur der ohmshe Innenwiderstand ( engl. coil
resistance ) und der ohmsche Lastwiderstand ( engl. ext. load
resistance ) des Kreises brücksichtigt werden :
Die Kraft p(t) ist proportional zur Geschwindigkeit x'(t),
der Bewegung entgegengerichtet ( neg. Vorzeichen ), und liefert
deshalb einen Beitrag zur Dämpfung des Systems
(( s. Mechanisches System und
Bewegungsgleichung ) :
- Durch die Wahl des extenen Lastwiderstandes kann die Dämpfung des
Gesamtsystems in einem weiten Wertebereich justiert werden,
- nach unten begrenzt durch die mechanische Grunddämpfung
( engl. o.c. damping ),
- nach oben durch G^2; und den Spulenwiderstand.
- Trägt man gemessene Dämpfungswerte α gegen die
zughörigen Leitwerte 1 / Gesamtwiderstand auf,
- so sollten alle Werte auf einer Geraden liegen :
- Steigung = "CDR" und
- Ordinatenabschnitt = mechan.Grunddämpfung
- ( Die Bezeichnung "CDR" ist etwas ungenau, da für einen
Gesamtwiderstand dieser Größe der elektromagnetische Anteil der
Dämpfung alleine den Wert 1 ( = kritisch ) annimmt,
während die Gesamtdämpfung um den die Grunddämfung höher
ist. )
Empfindlichkeit
Bei dafür eingerichteten Seismometern kann eine kleine
Zusatzmasse dm ( üblicherweise ≤ 1 [g] )
auf die Seismometermasse aufgelegt und wieder abgehoben werden
( engl. "weight lift test" ),
um so eine bekannte externe Kraft an der Masse anzubringen
( s. Mechanisches Sytem und
Bewegungsgleichung ) :
Wartet man nach dem Auflegen der Zusatzmasse bis sich das System in Ruhe
befindet, so gelten die Anfangsbedingungen x'(+0) = 0
und x(+0) ≠ 0
(s. Dämpfung ) :
( s. auch DISPLAY DAMP. / 1/R des Applets
Seismometer Eichung )
Weniger aufwändig ( i.A. aber auch weniger genau ) ist es,
die Motorkonstante G aus dem "krit. Dämpfungswiderstand"
zu berechnen :
Schließlich kann die Motorkonstante einer Eichspule
bestimmt werden durch einen Vergleich der Amplituden der
Ausgangssignale von "weight lift" und Gleichstromtest
bei identischen Werten für die Dämpfung.
! Leider kann bei allen beschriebenen Methoden zur Bestimmung der
Empfindlichkeit eines Seismometers dessen bewegliche Masse m aus den
entsprechenden nicht eliminiert werden, und ihr Wert muß den
Herstellerangaben entnommen ( und geglaubt )
werden !
( Selbst wenn der dort angegebene Wert evtl. nicht sehr genau ist, so ist
er aber zumindest zeitlich konstant, und erlaubt eine Überprüfung
der Parameter von Zeit zu Zeit. )
Inhaltsverzeichnis
Parameterbestimmung
Eigenfrequenz
Dämpfung
"Kritischer Dämpfungswiderstand"
Empfindlichkeit
Tafeln zur Laplace Transformation
sind zufinden u.a. in :
- Abramowitz, M. and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions,
Dover Publications, Inc, New york,
- Doetsch, G., Anleitung zum praktischen Gebrauch der Laplace Transformation
und der Z-Transformation, R. Oldenbourg Verlag, München.
Die abgebildeten Formeln und Gleichungen wurden für die
ursprüngliche, englische Version des Textes mit
WebEQ ( damals, 1997, noch
kostenlos ) erstellt, und zur Beschleunigung des Seitenaufbaus als GIFs
abgespeichrt.
( Nicht nur der Kosten sondern auch meiner Faulheit wegen, wurden die Formeln
für die deutsche Fassung weiter verwandt, was zu einigen "englischen
Spuren" insbesondere in den Erläuterungen geführt hat,
wie ich hoffe ohne Beeinträchtigung der Verständlichkeit. )
Weitere Applets zur Geophysik ( und zum Spielen )
unter
Institut für Geophysik der TU Clausthal
Rev. 15-Dez-2006
Kommentare bitte an
Fritz Keller
( ned gschempfd isch globd gnueg )
Inhaltsverzeichnis
Funktionsprinzip
Applets
Laplace Transformation
Übertragungsfunktionen
Freie Bewegung
Tafeln zur Laplace Transformation